Dacă T este un BST echilibrat cu n elemente, L subarborele stâng și R unul său drept, cum pot dovedi că adâncimea ei este mai mică sau egală cu 2log (n) + 1?
Există o dovadă prin inducție pe care o am, dar eu nu înțeleg.
(Am înțeles că StackOverflow este în principal de programare orientat, dar am găsit câteva întrebări despre arbori de căutare binare și a decis să-i dea o încercare, sper că nu fac ceva nu e bine. :))
Prin definiție a „echilibrat“, adâncimi de fiecare subramificații din stânga și din dreapta același nod diferă de cel mult de unul. „Profunzimea“ este în mod normal, definit ca „numărul de etape de cea mai lungă de mers pe jos de la rădăcină de copac în jos la frunze“, astfel încât, de exemplu, un BST cu o singură rădăcină și două frunze (trei elemente în singurul mod în care pot fi aranjate într-un BST echilibrat) este a spus să aibă fundul apei (pare că utilizați o definiție ușor diferită, care ar da adancime doi?), cum ar fi unul cu o singură rădăcină și o frunză (dacă frunza este subramificație stânga sau la dreapta rădăcinii lui nu face nici o diferență), în timp ce una cu doar o rădăcină, care este, de asemenea, o frunză (un singur element) ar avea adâncime 0. (nu există nici o BST cu zero elemente).
Deci , pentru n <= 3 elemente, apelarea D (n) adâncimea arborelui definit ca mai sus, în mod clar D(n) < log(n) + 1(cu logînțelesul de bază 2 logaritm) prin inspecție, deoarece 1 = D(2) < log(2) + 1 = 2(și , de asemenea , 1 = D(3)pentru care RHS inegalității, log(3) + 1este de fapt > 2) și 0 = D(1) < log(1) + 1 = 1- acest lucru ne dă baza de inducție.
Pentru a finaliza dovada de inducție trebuie să arătăm că , dacă D(k) < log(k) + 1pentru toți k < n, atunci rezultă , de asemenea , că D(n) < log(n) + 1.
Dacă n este impar, în mod clar și la stânga subramificație dreapta au (n-1)/2elemente fiecare, iar arborele are o adâncime de 1 mai mult decât subramificații; dar apoi D(n) = 1 + D((n-1)/2) < 1 + 1 + log((n-1)/2)(prin ipoteza de inducție) = 1 + log(n-1)(deoarece log((n-1)/2) = log(n-1) - 1) și , astfel , a fortiori < 1 + log(n), QED.
Dacă neste chiar urmați doar aceiași pași , cu log(n)loc de log(n-1)și fără „a fortiori“ finisajul, iar dovada încă deține.
Răspunsul tău este adevărat dacă echilibrat arbore binar este complet numărul de elemente din dreapta și sub copac stâng poate fi (n-1) / 2, dar dacă nu este completă, numărul de elemente care nu trebuie să fie (n-1) / 2 ca ultimul nivel pot avea elemente diferite
